Elementi di storia della matematica

Il presente volume è la traduzione italiana del libro Éléments d´histoire des mathématiques. Nicolas Bourbaki è lo pseudonimo di un gruppo di matematici, soprattutto francesi, nato nel 1935 e poi reso ufficiale con la fondazione dell'Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki (associazione dei collaboratori di N. B.) nel 1953, tuttora esistente e con sede presso l'École Normale Supérieure di Parigi.  La composizione di tale gruppo è cambiata nel corso dei decenni. Nella quarta di copertina del presente volume sono citati H. Cartan, C. Chevalley, J. Dieudonné, C. Ehresmann e A. Weil (indicato, per un errore di stampa, come A. Weyl). In seguito, vi hanno preso parte altri importanti matematici, come J.-P. Serre e A. Grothendieck. L'opera principale del gruppo, che inoltre organizza ogni anno i noti Séminaire Bourbaki, è gli Éléments des mathématiques: nata con lo scopo di presentare rigorosamente i fondamenti del calcolo differenziale e integrale, è diventata una serie di testi che spazia in vari settori della matematica, introdotti assiomaticamente a partire dalla teoria degli insiemi. Il presente volume, come specificato nell'Avvertenza iniziale, «raccoglie la maggior parte delle note storiche» apparse nei volumi degli Éléments des mathématiques pubblicati fino ad allora. La lunghezza dei ventuno capitoli in cui è diviso può essere molto mutevole, a seconda dell'importanza attribuita da Bourbaki all'argomento in questione. Occorre subito segnalare che l'opera è rivolta a un pubblico alquanto specializzato, infatti cita numerosi teoremi senza richiamarne gli enunciati e non definisce gli oggetti matematici di cui ricostruisce la storia, oggetti, come i gruppi, gli anelli, i campi (di solito indicati all'interno dell'opera come corpi commutativi) e gli spazi topologici o metrici, che difficilmente possono essere noti a chi non abbia compiuto studi universitari in matematica o in scienze ad essa profondamente legate come la fisica. La sua natura di raccolta di saggi, fa sì che questo libro non si presenti come una storia sistematica ed esaustiva della matematica dalle sue origini alla metà del XX secolo. Alcuni campi di questa scienza, come la fisica matematica, non vengono infatti menzionati, mentre altri, come la geometria algebrica e quella differenziale, la teoria dei numeri il calcolo delle probabilità e la teoria delle equazioni differenziali sono appena citati; basta  scorrere l'indice per rendersi conto che i settori maggiormente trattati, oltre alla questione dei fondamenti della matematica, sono l'algebra, l'analisi matematica e la topologia. Nei capitoli riguardanti questioni classiche (le cosiddette matematiche elementari) si risale fino alla matematica greca, in particolare con riferimenti agli Elementi di Euclide, ma non solo, e talora anche alle matematiche babilonese ed egiziana; ci sono anche cenni agli sviluppi indiani, arabi, medievali e rinascimentali. L'attenzione, però, è focalizzata prevalentemente sull'età moderna e contemporanea, soprattutto sul XIX secolo e sugli inizi del XX secolo, dedicando un interesse speciale alla “questione dei fondamenti”, che, come noto, è stata di grande rilievo nei primi decenni dello scorso secolo. L'opera è corredata da un'ampia bibliografia. L’elenco dei 21 capitoli risulta così composto: 1. Fondamenti della matematica (è l'unico ad essere suddiviso in più sezioni: Logica. Teoria degli insiemi, La formalizzazione della logica, La nozione di verità in matematica, Oggetti, modelli, strutture, La teoria degli insiemi, I paradossi della teoria degli insiemi e la crisi dei fondamenti, La metamatematica); 2. Numerazione. Analisi combinatoria; 3. L'evoluzione dell'algebra; 4. Algebra lineare e algebra multilineare; 5. Polinomi e corpi commutativi; 6. Divisibilità. Corpi ordinati; 7. Algebra non commutativa; 8. Forme quadratiche. Geometria elementare; 9. Spazi topologici; 10. Spazi uniformi; 11. Numeri reali; 12. Esponenziali e logaritmi; 13. Spazi a n-dimensioni; 14. Numeri complessi. Misura degli angoli; 15. Spazi metrici; 16. Calcolo infinitesimale; 17. Sviluppi asintotici; 18. La funzione gamma; 19. Spazi funzionali; 20. Spazi vettoriali topologici; 21. Integrazione. Nonostante la sua natura non omogenea e l'assenza degli sviluppi più recenti, l’opera costituisce un significativo riferimento per studiare «le origini e i primi sviluppi della matematica moderna», in particolare perché mette in luce la storia e le reciproche influenze delle idee direttive alla base delle diverse  teorie trattate.