La seguente proposta didattica è rivolta ai docenti di matematica e fisica di una classe terza di liceo classico/scienze umane/artistico/linguistico, ma si può svolgere anche in un liceo scientifico o di scienze applicate. Vuole essere un percorso introduttivo alla geometria analitica che, riprendendo i concetti elementari affrontati nel biennio (piano cartesiano, punti e rette), mostri il carattere innovativo portato dalla nascita e progressiva diffusione a partire dal XVII secolo di questa nuova forma del sapere matematico, capace di coniugare due campi della matematica, quali l’algebra e la geometria euclidea, fino ad allora trattate essenzialmente come due campi del sapere separati. Il percorso didattico dei primi due anni nei licei riflette questa concezione del rapporto tra algebra e geometria e accompagnare l’introduzione sistematica della geometria analitica, tipica del terzo anno di liceo, con questa proposta didattica può essere l’occasione per fornire una maggior consapevolezza sull’importanza di questo cambiamento paradigmatico nel pensiero matematico.
Metodologia didattica applicata: lezione frontale, utilizzo delle TIC.
Possibilità di team teaching: in questa fase non è previsto un lavoro in compresenza, ma può risultare utile condividere il materiale di lavoro con il docente di storia e filosofia in vista delle successive fasi in cui il lavoro di team teaching è consigliato.
Competenze da promuovere: stimolare l’ascolto, il coinvolgimento, l’empatia, incoraggiare al pensiero divergente e al pensiero critico, partecipazione attiva al processo di costruzione del sapere, utilizzo dei sistemi informatici.
La prima fase consiste in una lezione frontale che riprenda i concetti elementari di geometria analitica affrontati tradizionalmente nel biennio, come il concetto di piano cartesiano e le principali proprietà tra punti e rette nel piano. Si propone quindi agli studenti il problema geometrico di determinare l’altezza in un generico triangolo. Il problema viene prima affrontato seguendo un approccio euclideo, con riga e compasso, ed in seguito viene riproposto e riformulato nel nuovo linguaggio della geometria analitica.
Approccio euclideo
Si invita gli studenti a costruire l’altezza di un triangolo tramite l’utilizzo di riga e compasso (consulta: https://www.youtube.com/watch?v=UoTJXg2gosw ). Si guida gli studenti nella costruzione facendo loro notare sia come questa costruzione si regga su teoremi precedenti sia come sia importante differenziare i due casi in cui l’altezza cade internamente ed esternamente.
Riformulazione analitica
Si invita gli studenti a disegnare un triangolo nel piano cartesiano e a determinare l’altezza del triangolo rispetto ad un vertice scelto liberamente. Si guida quindi gli studenti nella soluzione, prima calcolando l’equazione della retta passante per gli estremi della base e successivamente calcolando l’equazione della retta perpendicolare alla base e passante per il vertice scelto inizialmente. Il punto di intersezione delle due rette rappresenta quindi il secondo estremo dell’altezza cercata. Si invita infine gli studenti ad osservare come sia anche possibile calcolare la lunghezza dell’altezza servendosi semplicemente della formula della distanza tra due punti. Questa lezione introduttiva si propone di favorire, a partire da un caso concreto, un possibile spettro di riflessioni che saranno oggetto del lavoro che seguirà. Si invita quindi gli studenti a riflettere sui punti più significativi che emergono dal confronto dei due diversi approcci. Attraverso alcune
semplici domande e spunti di riflessione il docente invita gli studenti a riflettere su come certi problemi problemi geometrici, indagati precedentemente con un approccio costruttivo, sembrino ora trovare una soluzione alternativa più precisa e generale e, per certi aspetti, anche più “automatizzabile”. Al termine della lezione il docente invita gli studenti a rivedere a casa gli argomenti trattati a lezione e a riflettere sulle domande suggerite. La lezione successiva ripartirà da queste domande e sarà dedicata alla preparazione del lavoro a gruppi.
Metodologia didattica applicata: group work, peer education, think-group-share, brainstorming.
Possibilità di team teaching: se l’organizzazione scolastica lo permette, può essere utile svolgere l’attività in compresenza con il docente di storia e filosofia, favorendo una visione integrata di sapere scientifico e sapere umanistico.
Competenze da promuovere: partecipazione attiva al processo di costruzione del sapere, capacità di costruire un clima favorevole all’apprendimento, sviluppo delle capacità empatiche e cooperative tra gli studenti, uso delle fonti, sviluppo del pensiero critico e divergente, utilizzo dei sistemi informatici.
Gli studenti hanno riflettuto sugli argomenti trattati nella lezione precedente e si presentano in classe con gli appunti della lezione introduttiva. Il docente divide la classe in gruppi di 5-6 persone (stabiliti dal docente in modo da creare gruppi idonei) e dà inizio all’attività che si svolge secondo le seguenti fasi:
Prima fase (durata: 20 minuti)
Ad ogni gruppo vengono riproposte le domande suggerite la lezione precedente e si invita ogni gruppo ad organizzare le risposte secondo due direzioni d’indagine:
1. Principali differenze tra geometria euclidea e geometria analitica.
2. Vantaggi e svantaggi di un approccio rispetto all’altro.
Ogni gruppo si riunisce e, consultando gli appunti, tenta di formulare una risposta condivisa fra tutti. Il docente favorisce la cooperazione tra i membri di ogni gruppo, incentiva la peer education e stimola i ragazzi e le ragazze a svolgere l’attività in modo attivo e compartecipe. Il gruppo elabora le proprie risposte annotandole per iscritto su un foglio di carta.
Seconda fase (durata: 20 minuti)
Il docente attiva la LIM e annota sulla lavagna le due parole chiave ‘geometria euclidea’ e ‘geometria analitica’. Intorno a questi due concetti il docente annota sulla lavagna le risposte formulate da ogni gruppo promuovendo connessioni e collegamenti tra le idee emerse in questo brainstorming. Questo processo mira a delineare, in un clima empatico e compartecipe, i principali punti tematici che potranno essere oggetto del lavoro di ogni singolo gruppo.
Terza fase (durata: 20 minuti)
I gruppi pianificano il lavoro di gruppo che andranno a svolgere fuori dall’orario scolastico. Ogni gruppo dovrà sviluppare un approfondimento storico sulla nascita della geometria analitica collegandolo con le riflessioni emerse durante il brainstorming. Il lavoro di approfondimento può vertere sulle più importanti tappe storiche che portarono alla nascita della geometria analitica, esplorando ad esempio le biografie dei protagonisti più significativi, come Pierre de Fermat e René Descartes, oppure – per i più bravi – può vertere anche su alcuni argomenti specifici in storia della matematica, selezionati con cura insieme al docente. I seguenti testi possono orientare gli studenti alla scelta dell’argomento da approfondire:
• Boyer C. B., Storia della matematica, Mondadori, 2023.
• Boyer C. B., History of Analytic Geometry, Dover, New York, 2004.
• Kline M., Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press,
New York, 1972, 1972.
Si chiede inoltre ad ogni gruppo di individuare una domanda specifica che emerge dai loro lavori e ricercare un opportuno collegamento con un contenuto presente all’interno del portale disf.org, mostrando come questa domanda specifica possa abbracciare un’interrogazione più ampia che vada ben al di là della specificità del problema geometrico. Il lavoro complessivo dovrà infine essere presentato attraverso un breve video (max 15’, slides commentate a voce). Ogni gruppo, quindi, si organizza e si divide i compiti identificando un referente del gruppo che sarà la voce del video di presentazione. Il docente supervisiona la progettazione del lavoro nei diversi gruppi, chiarendo eventuali dubbi e fornendo risorse aggiuntive su eventuale richiesta da parte degli studenti. Il docente invita quindi ogni gruppo ad inviare il video entro 10-15 giorni in modo da poterlo supervisionare prima della fase finale dell’attività.
Metodologia didattica applicata: utilizzo delle TIC, flipped classroom, lezione partecipata, debate method.
Possibilità di team teaching: se l’organizzazione scolastica lo permette, può essere utile svolgere l’attività in compresenza con il docente di storia e filosofia, favorendo una visione integrata di
sapere scientifico e sapere umanistico.
Competenze da promuovere: sviluppo delle capacità di lavoro cooperativo, utilizzo dei social media in modo costruttivo e responsabile, sviluppo del pensiero critico e delle capacità di partecipazione ad un dibattito pubblico.
Il percorso qui proposto si conclude con il dibattito finale in cui ogni gruppo presenta il proprio video alla classe e commentando brevemente i punti salienti del proprio lavoro. Al termine della presentazione segue un breve momento per le domande e riflessioni da parte degli studenti. Il docente è invitato a mettere in luce aspetti particolarmente significativi del lavoro svolto e a far emergere eventuali punti poco chiari o da approfondire meglio. L’ordine delle presentazioni è gestito dal docente e l’intera esposizione dovrebbe durare circa 80’-100’ (supponendo 4-5 gruppi in una classe media di 25-30 alunni). Segue un momento di discussione finale e di conclusione da parte del docente in cui vengono riassunti gli aspetti più rilevanti emersi in questo percorso didattico. L’intera attività può diventare oggetto di valutazione, sia in base agli elaborati svolti a casa sia in base alla partecipazione attiva al dibattito finale da parte degli studenti.