Il mondo della matematica, scienza dell’infinito

Luca Granieri
“A quelli che non conoscono la matematica è difficile far percepire, come una sensazione reale, la profonda bellezza della Natura”, Richard Feynman.
In pillole
  • Fin dagli albori della vita sociale e della cultura primitiva l’essere umano ha avuto necessità di computare e di misurare, cioè di pensare “matematicamente”.
  • Gli oggetti e il linguaggio della matematica coinvolgono molte altre discipline: fisica, chimica, logica, informatica, ma anche architettura, musica, poesia.
  • Gli interrogativi suscitati dalla matematica si estendono alla filosofia e alla religione: riflessione sull’infinito, razionalità della natura, visione sacrale e mistica della realtà e della matematica stessa. 
  • La matematica condiziona le diverse metafore della natura (libro, meccanismo, orologio, computer…), ma anche alcune immagini di Dio (ingegnere, architetto, musicista, intelligenza ordinatrice…).
  • L’idea che la matematica sia solo un linguaggio e non una scienza indebolisce i suoi legami con la filosofia e la cultura in genere, relegandola al ruolo di mero strumento.
  • La computabilità del ragionamento logico (informatica), dei fenomeni naturali (modellizzazione e riduzionismo), delle dinamiche sociali (modelli economici, sociali, etc.) è attraente ma possiede limiti intrinseci.
  • La matematica è una porta verso le grandi domande filosofiche: quali sono i fondamenti del conoscere? perché la natura è razionale e intelligibile? la matematica esiste nella realtà o solo nella mente umana?

Sin dalle loro origini, gli esseri umani non hanno potuto fare a meno di interrogarsi su di sé e sul mondo attorno a sé, passando dai quesiti più immediati legati alla sopravvivenza e ai bisogni primari a quelli più alti e speculativi, sul significato delle cose e della vita stessa, sul divino e sulla trascendenza. La cultura è in fondo il prodotto di questa continua interrogazione. Nella cultura umana entra in modo precoce “il mondo della matematica”. Comparsa inizialmente attraverso la numerazione “naturale” (1, 2, 3, etc.) per fini di conteggio e memorizzazione elementare (incisioni su ossa, sassolini, etc.), la matematica pervade ben presto la vita della società umana. 

Dalle questioni più immediate sulle compravendite o le misurazioni di appezzamenti di terreno, a quelle più astratte e filosofiche sul moto degli astri, l’essere umano si rese ben presto conto che per cercare risposte precise ed esaurienti a queste domande occorreva pensare matematicamente. Come nella grande intuizione che si racconta abbia folgorato Pitagora mentre poneva in relazione i suoni che poteva udire nella bottega del fabbro con il peso dei martelli che li producevano, sintetizzata nel celebre motto: «tutto è numero».

A motivo del suo carattere pervasivo nella cultura umana, la matematica può rappresentare il filo conduttore di svariati percorsi didattici nell’insegnamento scolastico, fungendo da collegamento fra le scienze, l’arte, la filosofia, ma giungendo a interessare anche la religione. In merito ai rapporti con la filosofia e con la religione si pensi, a titolo di esempio, alle origini della matematica nell’ambito di una visione sacrale del mondo (Pitagorici); alla rivalutazione della matematica nel neoplatonismo cristiano, con Agostino di Ippona in particolare; alla forte interdisciplinarità del concetto di infinito; alle conseguenze della matematizzazione sulla nostra visione del mondo, con l’introduzione e il successivo superamento del “riduzionismo”. 

Si pensi, infine, al rapporto fra matematica e intelligibilità della natura, che accompagna la cultura umana in diverse epoche storiche e dal Seicento in avanti alimenta costantemente il dibattito circa l’esistenza di una Intelligenza creatrice. Queste interrelazioni vengono spesso sintetizzate nelle metafore impiegate sia per la rappresentazione della natura (sinfonia musicale, organismo, libro, orologio, computer, etc.), sia per riferirsi all’immagine di Dio (geometra, musicista, architetto, programmatore, etc.). 

Ad esempio, ritornando al «tutto è numero» pitagorico, se la musica, come quella prodotta da un violino, è la manifestazione esteriore di una sottostante regolarità matematica dovuta alle precise proporzioni tra gli elementi dello strumento, allo stesso modo  tutte le apparenze del mondo sarebbero dovute a un intrinseco carattere matematico sottostante, generando le metafore di Dio come musicista (e quindi come matematico) e dell’universo come il suo strumento musicale (armonia cosmica).

Ci si muove pertanto entro un’implicita visione filosofica, con radici antiche, in base alla quale la matematica non sarebbe soltanto uno dei tanti prodotti della cultura umana, ma piuttosto il fondamento della cultura in generale, in particolare della scienza. In effetti, uno degli ingredienti fondamentali che ha permesso il passaggio dal pensiero mitico, magico-astrologico, o semplicemente filosofico, a ciò che chiamiamo scienza moderna è senz’altro stato proprio il ruolo giocato dalla matematica. Celebre è la metafora di Galileo sul Libro della natura scritto in caratteri matematici. Per Keplero, la matematica, coeterna e consustanziale a Dio, è una sorta di demiurgo, il mezzo con cui Dio crea il cosmo e si relaziona con esso. In Newton, lo spazio non è solo un ente geometrico ma addirittura il “sensorio” di Dio.

L'immagine sottesa da questi autori è quella di “Dio geometra”. In effetti, la genesi della scienza moderna si colloca in una tradizione archimedeo-pitagorica, nella quale il mondo fisico e quello matematico non sono separati tra loro: una curva è sia un oggetto geometrico che fisico; la leva è uno strumento sia fisico che matematico; le forze, i campi, le particelle della fisica, altro non sono che un universo fatto matematica.

La matematica non è soltanto un modo per descrivere il mondo, ma anche un mezzo di indagine. Come il telescopio e il microscopio ci hanno permesso di gettare lo sguardo sempre più in là aprendoci a inaspettati mondi meravigliosi, così la matematica, in modo particolare negli ultimi secoli, ci ha permesso di raggiungere traguardi eccezionali: con la sola forza del pensiero

Basti pensare alla “conquista” dell’infinito apertaci da Georg Cantor, che ha trasformato quello che era uno sfuggente paradosso in un caposaldo della scienza moderna. O ai Teoremi di incompletezza di Kurt Gödel, che stabiliscono i limiti, logici e computazionali, dei sistemi assiomatici. Ciò è per tutti testimoniato dalla rapida ascesa del progresso scientifico-tecnologico. 

Se, come invita Ian Stewart, dovessimo apporre un’etichetta sugli oggetti dell'universo che ne esplicitino gli ingredienti costitutivi, dovremmo inserire in tutti: contiene matematica. A causa della sua essenza, poi, la matematica costituisce un forte strumento critico, per sua natura interdisciplinare: cosa possiamo sapere veramente? Cosa vuol dire “dimostrare”? Come “definire” qualcosa? 

Il ruolo centrale della matematica in ogni tipo di cultura era ben noto ad Agostino di Ippona e in generale a tutto il neoplatonismo cristiano. Fatto ben codificato nelle prime Università medievali, che nella Facoltà di Arti liberali includevano le discipline presenti nel quadrivio: aritmetica, geometria, astronomia e musica. Oggi le cose sono cambiate, ma queste articolazioni didattiche avevano la loro importanza, che non può essere sottostimata. La musica, ad esempio, è quasi sparita dall'insegnamento scolastico e sopravvive soltanto una ridotta “educazione musicale” nelle scuole di primo grado. 

Nonostante la grandezza del ruolo originario della matematica, oggi, quasi paradossalmente, anch’essa sembrerebbe avviata in un percorso simile, diventando sempre più una materia secondaria nei licei e nelle scuole in generale che pur ne insegnano le molteplici forme applicative. Si tratta di un fenomeno in buona parte connesso con una concezione positivista della scienza, secondo la quale la matematica avrebbe un ruolo puramente strumentale, una sorta di cassetta degli attrezzi a cui gli scienziati attingono secondo necessità, al punto da affermare che la matematica non avrebbe lo statuto di una scienza, ma solo quello di un linguaggio. Tale concezione, oggi in buona parte dominante, indebolisce i forti e storici legami interdisciplinari della matematica con la cultura umanistica.

Ma se si tratta di una serva, occorrerebbe aggiungere che la matematica sarà in qualche modo pur sempre una serva padrona, come recita il titolo di un libro dedicato proprio a questo tema da Edoardo Boncinelli e Umberto Bottazzini (Cortina, 2000). Tuttavia, essa non può svolgere un ruolo egemone nella conoscenza, né proporsi come salvezza da tutti i mali. Mentre in fisica essa possiede un ruolo costitutivo, così non è (ancora?) nelle altre scienze. Certamente le applicazioni della matematica coinvolgono ambiti sempre più ampi (economia, biologia, medicina, etc.) ma la sua efficacia è molto lontana da quanto accade nelle scienze fisiche, e per certi versi risulta (ancora?) piuttosto insoddisfacente. 

Nella conoscenza, l’approccio matematico, quantitativo, algoritmico, avrà sempre dei limiti costitutivi, intrinseci, che non sarà possibile superare. Inoltre, la crescente astrazione e formalizzazione nella matematica moderna e la cosiddetta crisi dei fondamenti (geometrie non euclidee, paradossi, etc.) ripropongono, seppur in chiavi diverse, le fondamentali questioni filosofiche di sempre: cos’è la realtà? Qual è il rapporto tra realtà, pensiero e linguaggio? Nello specifico: cosa sono veramente i numeri, le figure geometriche, gli oggetti matematici? Sono scoperti, perché appartengono alla natura delle cose, oppure inventati, perché presenti solo nella mente umana? Perché il mondo è matematico?

Questioni altrettanto fondamentali, che in ultima analisi derivano da queste, riguardano l’informatica, la computer science e l’intelligenza artificiale. Il premio Nobel Eugene Wigner ha parlato dell’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze della natura. Forse non sappiamo o non sapremo mai se e quanto il mondo sia effettivamente matematico, ma ciò che è certo è che la più antica tra le scienze conserva oggi più che mai intatto tutto il suo fascino e il suo mistero.

Tracce di lavoro: 

Laboratorio interdisciplinare: La riflessione sulla matematica pone in rilievo la questione generale sul legame tra pensiero e realtà. I docenti di diverse discipline (letteratura, storia, matematica, fisica, scienze, filosofia, religione) promuovano una discussione-dibattito in cui ogni docente, affiancato da gruppi di studenti, proponga punti specifici nei quali la propria disciplina coinvolge direttamente (o indirettamente) enti del mondo reale ed enti di ragione (concetti astratti). In particolare, ogni gruppo cerchi di porre in luce quale ruolo la matematica e gli enti matematici svolgono all’interno della propria disciplina.

Discutiamone insieme: Il fatto che la realtà naturale possa essere “matematizzata”, cioè indagata con metodi matematici, cosa suggerisce sulla costituzione della natura? Il docente promuova una riflessione su questo interrogativo, non mancando di evidenziare i limiti che un approccio puramente quantitativo ha per la comprensione della realtà.

Discutiamone insieme: La matematica può considerarsi una scoperta oppure una costruzione? Ad esempio, per i numeri naturali (1, 2, 3, …) e razionali (1/2, 2/3, …) si possono immaginare delle controparti nella realtà, ma in che senso possono esistere strutture geometriche nel mondo come un triangolo o un cerchio? A cosa potrebbero corrispondere i numeri irrazionali (pi greco, radice di 2, …) in natura? Il docente susciti una discussione in classe partendo da questa differenza.

Approfondisci e rifletti: In quanti modi si può parlare dell’infinito? A partire dal percorso di studi svolto durante gli anni scolastici, metti in luce in quali ambiti figura questa nozione e quali autori vi hanno riflettuto in modo più profondo.

Per approfondire
Dal Dizionario Interdisciplinare: 
Gianfranco Basti, Infinito
voci tratte da DISF e INTERS
Opere influenti: 
Alfred N. Whitehead, Bertrand Russell, Principia Mathematica (1910), a cura di Francesco Panizzoli
Roger Penrose, La strada che porta alla realtà (2004), a cura di Luca Granieri
Indicazioni bibliografiche: 

Bibliografie tematiche:

Storia della logica e della matematica

Opere in rapporto con il Percorso:

L.E.J. Brouwer, Vita, arte e mistica (1905)

E. Temple Bell, I grandi matematici (1937)

P. Pizzamiglio, Matematica e storia (2002)

F. Agnoli, Leonardo Eulero il matematico dell`età illuminista (2016)

F. Agnoli, Il misticismo dei matematici (2017)

I. Steward, I numeri uno (2018)

Altri documenti: 

Perché abbiamo bisogno di giovani matematici (2007), di L. Alessandrini

Mistica e numeri (2014), intervista a J. Povilus

Pitagora tra aste e funi (2016), di C.M. Polvani

Non solo teologia. La matematica di Dante (2020), di V. Vespri