Il successo delle teorie fisiche è davvero sorprendente?

Una possibile spiegazione del fatto che il fisico usi la matematica per formulare le leggi di natura è che sia una persona un po’ irresponsabile. Infatti, quando scopre un rapporto tra due quantità che somiglia a un rapporto ben noto in matematica, il fisico salta subito alla conclusione che il rapporto trovato è quello discusso in matematica, semplicemente perché non ne conosce di simili. Non è nostra intenzione difendere il fisico dall’accusa di essere un irresponsabile. Forse lo è. Tuttavia, è importante segnalare che la formulazione matematica dell’esperienza spesso grossolana del fisico lo conduce, in un gran numero di casi, a una descrizione straordinariamente accurata di una vasta classe di fenomeni. Ciò dimostra che il linguaggio della matematica è esemplare non solo per il fatto di essere l’unico che parliamo, ma anche per il fatto di essere, nel vero senso della parola, il linguaggio corretto. Consideriamo alcuni esempi. Il primo, spesso citato, è quello dei moti planetari. Le leggi di caduta dei gravi si affermarono a seguito di esperimenti condotti principalmente in Italia. Tali esperimenti non avevano la precisione nel senso che diamo oggi a questa parola, in parte per l’effetto della resistenza dell’aria, in parte per l’impossibilità, all’epoca, di misurare brevi intervalli di tempo. Eppure, non stupisce che a seguito dei loro studi gli scienziati italiani acquisissero una certa familiarità con i modi in cui gli oggetti si muovono nell’atmosfera. Fu poi Newton a collegare le leggi di caduta dei gravi al moto della Luna, osservando che la parabola tracciata da un sasso lanciato sulla Terra e la traiettoria circolare della Luna nel cielo sono casi particolari dello stesso oggetto matematico, e postulando la legge di gravitazione universale sulla base di una singola – e a quel tempo molto approssimativa – coincidenza numerica. Da un punto di vista filosofico la legge di gravitazione formulata da Newton ripugnava ai suoi contemporanei e a lui stesso. Da un punto di vista empirico, si basava su pochissime osservazioni. Il linguaggio matematico in cui era formulata conteneva il concetto di derivata seconda, e chi di noi ha provato a tracciare il cerchio osculatore a una curva sa che la derivata seconda non è affatto un concetto immediato. La legge di gravitazione che Newton elaborò con riluttanza e che poté verificare con una precisione del quattro per cento circa è risultata precisa a meno di un decimillesimo di punto percentuale, ed è diventata così strettamente associata all’idea di precisione assoluta che solo di recente i fisici hanno avuto il coraggio di indagarne nuovamente i limiti di accuratezza. Certo, l’esempio della legge di Newton, più volte citato, deve essere soprattutto ricordato come grandioso esempio di una legge, formulata in termini che appaiono semplici al matematico, dimostratasi precisa oltre ogni ragionevole aspettativa. Ricapitoliamo la nostra tesi circa questo esempio. In primo luogo, siccome contiene una derivata seconda, la legge risulta semplice soltanto al matematico, non certo al senso comune o a una matricola poco ferrata in matematica. In secondo luogo, è una legge condizionale di portata molto limitata. Non spiega nulla riguardo alla Terra che attrae i sassi di Galileo, alla forma dell’orbita lunare, o ai pianeti del sistema solare. La spiegazione di queste condizioni iniziali è lasciata al geologo e all’astronomo, e loro ci faticano parecchio. Il secondo esempio è quello della meccanica quantistica ordinaria, elementare. Questa ebbe origine quando Max Born notò che alcune regole di calcolo, formulate da Heisenberg, erano formalmente identiche alle regole di calcolo delle matrici, definite molto tempo prima dai matematici. Born, Jordan e Heisenberg suggerirono perciò di sostituire le variabili di posizione e momento delle equazioni della meccanica classica con delle matrici. [6] Essi applicarono le regole della meccanica delle matrici ad alcuni problemi molto astratti e i risultati furono piuttosto soddisfacenti. Eppure, a quei tempi non c’erano prove evidenti che la meccanica delle matrici si sarebbe rivelata corretta in condizioni più realistiche. E infatti essi premettevano: «Se la meccanica qui proposta è corretta nei suoi tratti essenziali». Di fatto, la prima applicazione della loro meccanica a un problema realistico, quello dell’atomo di idrogeno, fu eseguita da Pauli diversi mesi dopo. Questa applicazione fornì risultati in accordo con l’esperienza. Ciò era soddisfacente, ma comunque comprensibile, perché le regole di calcolo di Heisenberg derivavano da problemi che includevano la vecchia teoria dell’atomo di idrogeno. Il miracolo avvenne solo quando la meccanica delle matrici, o una teoria matematicamente equivalente, fu applicata a un problema per il quale le regole di calcolo di Heisenberg non avevano alcun senso. Le regole di Heisenberg presuppongono che le equazioni della meccanica classica abbiano soluzioni con certe proprietà di periodicità, ma le equazioni del moto dei due elettroni dell’atomo di elio, o degli elettroni – in numero anche maggiore – degli atomi più pesanti, semplicemente non hanno queste proprietà. Di conseguenza, le regole di Heisenberg non possono essere applicate a queste situazioni. Ciò nonostante, il calcolo del livello energetico più basso dell’elio, eseguito pochi mesi fa da Kinoshita alla Cornell University e da Bazley al Bureau of Standards, coincide con i dati sperimentali nei limiti di accuratezza delle osservazioni, che è di una parte su dieci milioni. È evidente che in questo caso abbiamo «tirato fuori» dalle equazioni qualcosa che non vi avevamo introdotto. Lo stesso vale per le proprietà qualitative degli «spettri complessi», ossia degli spettri degli atomi più pesanti. Vorrei ricordare una conversazione con Jordan, il quale, quando furono derivate le proprietà qualitative degli spettri, mi disse che una discrepanza tra le regole ricavate dalla teoria della meccanica quantistica e le regole stabilite dalla ricerca sperimentale avrebbe fornito l’ultima opportunità per modificare l’impianto della meccanica delle matrici. In altre parole, Jordan pensava che ci saremmo sentiti impotenti, almeno per un po’, in caso di un inaspettato disaccordo con la teoria dell’atomo di elio. Quest’ultima era stata sviluppata, a suo tempo, da Kellner e Hylleraas. Il formalismo matematico era così chiaro e solido che sarebbe insorta una vera e propria crisi se il miracolo dell’elio prima accennato non si fosse verificato. In un modo o nell’altro la fisica avrebbe sicuramente superato quella crisi. D’altra parte, però, è vero che la fisica, come la conosciamo oggi, non sarebbe possibile senza un costante ripetersi di miracoli simili a quello dell’atomo di elio, che forse è il miracolo più sorprendente avvenuto nel corso dello sviluppo della meccanica quantistica elementare, ma certo non l’unico. In effetti, a nostro parere, il numero di miracoli simili è limitato solamente dalla nostra volontà di cercarli. La meccanica quantistica ha ottenuto, comunque, una serie di successi altrettanto sorprendenti, che ci hanno convinto della sua, diciamo, giustezza. L’ultimo esempio è quello dell’elettrodinamica quantistica, ovvero la teoria dello spostamento di Lamb. Mentre la teoria della gravitazione di Newton ha ancora dei collegamenti diretti con l’esperienza, nella formulazione della meccanica delle matrici l’esperienza entra solo nella forma rarefatta o sublimata delle regole di Heisenberg. La teoria quantistica dello spostamento di Lamb, concepita da Bethe ed elaborata da Schwinger, è una teoria puramente matematica e il contributo immediato dell’esperimento fu soltanto di rivelare l’esistenza di un effetto misurabile. La coincidenza con i calcoli è più accurata di una parte su mille. I tre esempi citati, che potrebbero moltiplicarsi quasi all’infinito, illustrano l’appropriatezza e l’accuratezza della formulazione matematica delle leggi di natura mediante concetti scelti per la loro flessibilità, laddove le «leggi di natura» risultano di una accuratezza quasi fantastica, seppure di una portata strettamente limitata. Suggerirei di chiamare l’osservazione scaturita da questi esempi la «legge empirica dell’epistemologia ». Insieme alle leggi di invarianza essa è un fondamento imprescindibile delle teorie fisiche. Senza leggi di invarianza le teorie fisiche non avrebbero alcun fondamento concreto. Se la legge empirica dell’epistemologia non fosse corretta, verrebbe meno il necessario sostegno emotivo senza il quale le «leggi di natura» non potrebbero essere indagate efficacemente. R.G. Sachs, con cui ho discusso la legge empirica dell’epistemologia, l’ha chiamata il dogma del fisico teorico, ed è proprio così. Tuttavia, quello che per lui è un dogma è corroborato da numerosi esempi concreti, che si aggiungono ai tre già menzionati.