Georg Bernhard Riemann

Bernhard Riemann è stato uno tra i principali matematici del XIX secolo. Al suo nome è associata la forma più nota del calcolo integrale (integrali di Riemann), ma anche, per gli specialisti, quella che forse è la più importante congettura ancora non dimostrata nella matematica odierna: l'ipotesi di Riemann, congettura che nella cosiddetta teoria analitica dei numeri ha importanti conseguenze sulla distribuzione dei numeri primi. Altro noto contributo di Riemann fu l’ideazione della cosiddetta geometria ellittica (anche detta, appunto, “di Riemann”) che generalizza la geometria euclidea rinunciando al quinto postulato di Euclide.

Più in generale, le sue teorie hanno avuto un forte impatto su molti campi della matematica e sullo sviluppo della fisica moderna. Nella sua breve vita – visse soltanto 40 anni – Riemann ha diffuso idee di fondamentale importanza nell'analisi dei numeri reali e dei numeri complessi, nella geometria differenziale, nella teoria dei numeri e in molti altri campi. In particolare, i sui lavori sulla geometria differenziale hanno fornito le basi matematiche per lo sviluppo della teoria della relatività generale. 

Già molto giovane, Riemann mostrò interesse per la storia e la matematica e venne incoraggiato dalla sua famiglia in questo genere di studi. Durante gli anni della scuola si mise subito in luce a motivo del suo impressionante talento matematico. I suoi interessi, tuttavia, non riguardarono soltanto la matematica, ma anche il sapere filosofico e la religione. Dal padre, pastore luterano, ricevette un’educazione cristiana. La fede religiosa vissuta in famiglia lo accompagnò sino alla sua morte: persona di fede, era solito praticare ogni sera l’esame di coscienza, che giudicava essere uno degli strumenti più efficaci per il progresso della vita spirituale di una persona.[1]

Prima di iscriversi alla Facoltà di Scienze e Matematica dell’università di Göttingen (attirato specialmente dalle lezioni lì tenute da Karl Friedrich Gauss), su consiglio di suo padre si iscrisse nel 1846 al corso di laurea in filosofia e teologia. Entrato all'Università di Göttingen, Riemann catturò l’attenzione del matematico Moritz Stern. Dopo un anno si trasferì all'Università di Berlino, dove poté giovarsi dell'insegnamento di autori come Jacobi, Steiner, Dirichlet ed Eisenstein. Fra questi fu Dirichlet a influenzare maggiormente Riemann, invitandolo a diventare suo collaboratore.

Nel 1850 Riemann tornò a Göttingen, dove trascorse il resto della sua carriera. Fu a questo punto che Gauss, già a Göttingen quando Rienmann vi giunse nel 1846, notò il suo talento. La sua dissertazione, completata proprio sotto la supervisione di Gauss nel 1851, era intitolata: Sulla teoria generale delle funzioni di variabile complessa.Con la sua dissertazione introdusse diverse idee di fondamentale importanza, come le definizioni di mappatura conforme e connettività semplice, risultati importanti per il teorema della mappatura di Riemann. Ha anche introdotto l'espansione della serie Laurent per le funzioni con poli e punti di diramazione.

Il passo successivo nella sua carriera accademica fu quello di qualificarsi come Privatdozent (libero docente). Per fare questo dovette presentare un saggio e una lezione probatori, poi rivelatisi entrambi due capolavori matematici. Il saggio di Riemann per la qualificazione a libero docente apportò notevoli progressi in diversi settori della matematica, dapprima fornendo un criterio affinché una funzione fosse integrabile (o integrabile di Riemann), e ottenendo poi una condizione necessaria affinché una funzione integrabile di Riemann fosse rappresentabile da una serie di Fourier.

La prima lezione di Riemann, Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria fu tenuta il 10 giugno 1854. Questo straordinario lavoro (pubblicato postumo nel 1867) introdusse (quella che ora viene chiamata) una varietà Riemanniana n-dimensionale e il suo tensore di curvatura – fondando così di fatto la geometria riemaniana. In questa memoria, egli introdusse il concetto di metrica di uno spazio e studiò le superfici a curvatura costante, positiva, nulla o negativa, giungendo nel caso della curvatura positiva a una geometria non euclidea di tipo ellittico. I concetti esposti in questo saggio forniranno ad Albert Einstein ottimi punti di partenza per l'elaborazione di un modello per lo spazio-tempo, il cronòtopo. 

Divenne Professore straordinario nel 1857. Due anni dopo ottenne il posto di Peter Gustav Lejeune Dirichlet – matematico tedesco, ricordato soprattutto per la moderna definizione "formale" di funzione – nell'insegnamento di Matematiche superiori. Essendo di salute cagionevole, Riemann si recò diverse volte in Italia per ritemprarsi nel clima mite del Paese. Restano molto importanti i suoi studi sulla teoria dei numeri, sulle funzioni di variabile reale rappresentabili mediante serie trigonometriche e l'esposizione rigorosa del concetto di integrale definito (integrale secondo Riemann). 

Riemann è morto in Italia, stroncato da una malattia improvvisa. Venne seppellito a Biganzolo di Verbania, in Piemonte. Oggi la sua tomba non esiste più: venne distrutta in occasione di una successiva ristrutturazione della proprietà della chiesa. Resta solo la lapide, murata a lato del cancello di entrata del piccolo cimitero su cui si può leggere: “Qui riposa in Dio Georg Friedrich Bernhard Riemann, professore a Gottinga, nato a Breselenz il 17 settembre 1826 e morto a Selasca il 20 luglio 1866. Tutto concorre al bene di coloro che amano Dio”.

Sebbene le sue pubblicazioni siano per lo più a carattere scientifico e il suo nome venga ricordato per i grandi contributi matematici, Riemann, si distinse anche per un approccio interdisciplinare alla ricerca scientifica. Si interessò infatti anche di filosofia della natura e di metafisica: «I princìpi metodologici sui quali Riemann fonda le sue concezioni scientifiche seguono molto da vicino la metodologia herbartiana. La metafisica, aveva affermato Herbart – e non si deve dimenticare che per lui la filosofia naturale, insieme alla psicologia, è metafisica applicata – è scienza della comprensibilità dell'esperienza».[2]A questo proposito, afferma ancora Pettoello,«gli sforzi di Riemann erano volti alla costruzione di un modello unitario delle scienze della natura, se non addirittura alla creazione di una vera e propria philosophia naturalis».[3]

Tra le sue opere si trovano diversi “frammenti filosofici”[4]in cui il matematico offre dissertazioni che spaziano dalla psicologia alla metafisica, in cui si interroga sulla spiritualità umana e sull’anima. Scriveva così nei suoi appunti filosofici: «Noi osserviamo una costante attività della nostra anima. A fondamento di ogni suo atto vi è qualcosa di duraturo che, in particolari circostanze (grazie al ricordo), si manifesta come tale, senza esercitare un durevole influsso sui fenomeni. Entra dunque continuamente (a ogni atto del pensiero) qualcosa di duraturo nella nostra anima, che tuttavia non esercita un influsso durevole sul mondo dei fenomeni. A fondamento di ogni atto della nostra anima vi è dunque qualcosa di duraturo che entra nella nostra anima insieme a questo atto, ma che nello stesso momento scompare completamente dal mondo dei fenomeni».[5]

Dalla spiritualità seppe quindi muoversi verso speculazioni di tipo filosofico offrendo una teoria dei concetti fondamentali della matematicae della fisica come fondamenti per l'interpretazione dellanatura, interrogandosi sul principio di causalità. In Riemann la ricerca scientifica stimolava quella filosofica facendo sì che il lavoro di matematico non fosse di ostacolo al ragionamento filosofico ma, al contrario, la scienza nutrisse la filosofia. 

Bibliografia 

A. D. ACZEL, L'equazione di Dio, Il saggiatore, Milano 2000.

M. DU SAUTOY, L'enigma dei numeri primi, Rizzoli, Milano 2004. 

J. DERBYSHIRE, L'ossessione dei numeri primi - Bernhard Riemann e il principale problema irrisolto della matematica, Bollati Boringhieri, Torino 2006.

B. RIEMANN, Collected papers, Kendrick Press, Heber City 2004.

B. RIEMANN, Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria e altri scritti scientifici e filosofici, Bollati Boringhieri, Torino 1994.