L’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali
Nel quarto capitoletto di L’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali Eugene P. Wigner ci invita a riflettere sulle ragioni, in gran parte misteriose, dell’incredibile efficacia del pensiero matematico nel riuscire a descrivere il mondo fisico che ci circonda. Dopo aver chiarito cos’è la matematica, cos’è la fisica e quale sia il ruolo della matematica nelle teorie fisiche, il quarto capitolo di questa fortunata operetta, breve e profonda al tempo stesso, ci mostra tre esempi presi dalla fisica classica e moderna. Ognuno di essi ci rende manifesto l’incredibile capacità del linguaggio matematico di formulare leggi di natura “di una accuratezza quasi fantastica”, anche quando quella teoria matematica trova incredibile applicazione ad un problema fisico per il quale quelle regole “non avevano alcun senso”.
Una possibile spiegazione del fatto che il fisico usi la matematica per formulare le leggi di natura è che sia una persona un po’ irresponsabile. Infatti, quando scopre un rapporto tra due quantità che somiglia a un rapporto ben noto in matematica, il fisico salta subito alla conclusione che il rapporto trovato è quello discusso in matematica, semplicemente perché non ne conosce di simili. Non è nostra intenzione difendere il fisico dall’accusa di essere un irresponsabile. Forse lo è. Tuttavia, è importante segnalare che la formulazione matematica dell’esperienza spesso grossolana del fisico lo conduce, in un gran numero di casi, a una descrizione straordinariamente accurata di una vasta classe di fenomeni. Ciò dimostra che il linguaggio della matematica è esemplare non solo per il fatto di essere l’unico che parliamo, ma anche per il fatto di essere, nel vero senso della parola, il linguaggio corretto. Consideriamo alcuni esempi. Il primo, spesso citato, è quello dei moti planetari. Le leggi di caduta dei gravi si affermarono a seguito di esperimenti condotti principalmente in Italia. Tali esperimenti non avevano la precisione nel senso che diamo oggi a questa parola, in parte per l’effetto della resistenza dell’aria, in parte per l’impossibilità, all’epoca, di misurare brevi intervalli di tempo. Eppure, non stupisce che a seguito dei loro studi gli scienziati italiani acquisissero una certa familiarità con i modi in cui gli oggetti si muovono nell’atmosfera. Fu poi Newton a collegare le leggi di caduta dei gravi al moto della Luna, osservando che la parabola tracciata da un sasso lanciato sulla Terra e la traiettoria circolare della Luna nel cielo sono casi particolari dello stesso oggetto matematico, e postulando la legge di gravitazione universale sulla base di una singola – e a quel tempo molto approssimativa – coincidenza numerica. Da un punto di vista filosofico la legge di gravitazione formulata da Newton ripugnava ai suoi contemporanei e a lui stesso. Da un punto di vista empirico, si basava su pochissime osservazioni. Il linguaggio matematico in cui era formulata conteneva il concetto di derivata seconda, e chi di noi ha provato a tracciare il cerchio osculatore a una curva sa che la derivata seconda non è affatto un concetto immediato. La legge di gravitazione che Newton elaborò con riluttanza e che poté verificare con una precisione del quattro per cento circa è risultata precisa a meno di un decimillesimo di punto percentuale, ed è diventata così strettamente associata all’idea di precisione assoluta che solo di recente i fisici hanno avuto il coraggio di indagarne nuovamente i limiti di accuratezza. Certo, l’esempio della legge di Newton, più volte citato, deve essere soprattutto ricordato come grandioso esempio di una legge, formulata in termini che appaiono semplici al matematico, dimostratasi precisa oltre ogni ragionevole aspettativa. Ricapitoliamo la nostra tesi circa questo esempio. In primo luogo, siccome contiene una derivata seconda, la legge risulta semplice soltanto al matematico, non certo al senso comune o a una matricola poco ferrata in matematica. In secondo luogo, è una legge condizionale di portata molto limitata. Non spiega nulla riguardo alla Terra che attrae i sassi di Galileo, alla forma dell’orbita lunare, o ai pianeti del sistema solare. La spiegazione di queste condizioni iniziali è lasciata al geologo e all’astronomo, e loro ci faticano parecchio. Il secondo esempio è quello della meccanica quantistica ordinaria, elementare. Questa ebbe origine quando Max Born notò che alcune regole di calcolo, formulate da Heisenberg, erano formalmente identiche alle regole di calcolo delle matrici, definite molto tempo prima dai matematici. Born, Jordan e Heisenberg suggerirono perciò di sostituire le variabili di posizione e momento delle equazioni della meccanica classica con delle matrici. [6] Essi applicarono le regole della meccanica delle matrici ad alcuni problemi molto astratti e i risultati furono piuttosto soddisfacenti. Eppure, a quei tempi non c’erano prove evidenti che la meccanica delle matrici si sarebbe rivelata corretta in condizioni più realistiche. E infatti essi premettevano: «Se la meccanica qui proposta è corretta nei suoi tratti essenziali». Di fatto, la prima applicazione della loro meccanica a un problema realistico, quello dell’atomo di idrogeno, fu eseguita da Pauli diversi mesi dopo. Questa applicazione fornì risultati in accordo con l’esperienza. Ciò era soddisfacente, ma comunque comprensibile, perché le regole di calcolo di Heisenberg derivavano da problemi che includevano la vecchia teoria dell’atomo di idrogeno. Il miracolo avvenne solo quando la meccanica delle matrici, o una teoria matematicamente equivalente, fu applicata a un problema per il quale le regole di calcolo di Heisenberg non avevano alcun senso. Le regole di Heisenberg presuppongono che le equazioni della meccanica classica abbiano soluzioni con certe proprietà di periodicità, ma le equazioni del moto dei due elettroni dell’atomo di elio, o degli elettroni – in numero anche maggiore – degli atomi più pesanti, semplicemente non hanno queste proprietà. Di conseguenza, le regole di Heisenberg non possono essere applicate a queste situazioni. Ciò nonostante, il calcolo del livello energetico più basso dell’elio, eseguito pochi mesi fa da Kinoshita alla Cornell University e da Bazley al Bureau of Standards, coincide con i dati sperimentali nei limiti di accuratezza delle osservazioni, che è di una parte su dieci milioni. È evidente che in questo caso abbiamo «tirato fuori» dalle equazioni qualcosa che non vi avevamo introdotto. Lo stesso vale per le proprietà qualitative degli «spettri complessi», ossia degli spettri degli atomi più pesanti. Vorrei ricordare una conversazione con Jordan, il quale, quando furono derivate le proprietà qualitative degli spettri, mi disse che una discrepanza tra le regole ricavate dalla teoria della meccanica quantistica e le regole stabilite dalla ricerca sperimentale avrebbe fornito l’ultima opportunità per modificare l’impianto della meccanica delle matrici. In altre parole, Jordan pensava che ci saremmo sentiti impotenti, almeno per un po’, in caso di un inaspettato disaccordo con la teoria dell’atomo di elio. Quest’ultima era stata sviluppata, a suo tempo, da Kellner e Hylleraas. Il formalismo matematico era così chiaro e solido che sarebbe insorta una vera e propria crisi se il miracolo dell’elio prima accennato non si fosse verificato. In un modo o nell’altro la fisica avrebbe sicuramente superato quella crisi. D’altra parte, però, è vero che la fisica, come la conosciamo oggi, non sarebbe possibile senza un costante ripetersi di miracoli simili a quello dell’atomo di elio, che forse è il miracolo più sorprendente avvenuto nel corso dello sviluppo della meccanica quantistica elementare, ma certo non l’unico. In effetti, a nostro parere, il numero di miracoli simili è limitato solamente dalla nostra volontà di cercarli. La meccanica quantistica ha ottenuto, comunque, una serie di successi altrettanto sorprendenti, che ci hanno convinto della sua, diciamo, giustezza. L’ultimo esempio è quello dell’elettrodinamica quantistica, ovvero la teoria dello spostamento di Lamb. Mentre la teoria della gravitazione di Newton ha ancora dei collegamenti diretti con l’esperienza, nella formulazione della meccanica delle matrici l’esperienza entra solo nella forma rarefatta o sublimata delle regole di Heisenberg. La teoria quantistica dello spostamento di Lamb, concepita da Bethe ed elaborata da Schwinger, è una teoria puramente matematica e il contributo immediato dell’esperimento fu soltanto di rivelare l’esistenza di un effetto misurabile. La coincidenza con i calcoli è più accurata di una parte su mille. I tre esempi citati, che potrebbero moltiplicarsi quasi all’infinito, illustrano l’appropriatezza e l’accuratezza della formulazione matematica delle leggi di natura mediante concetti scelti per la loro flessibilità, laddove le «leggi di natura» risultano di una accuratezza quasi fantastica, seppure di una portata strettamente limitata. Suggerirei di chiamare l’osservazione scaturita da questi esempi la «legge empirica dell’epistemologia ». Insieme alle leggi di invarianza essa è un fondamento imprescindibile delle teorie fisiche. Senza leggi di invarianza le teorie fisiche non avrebbero alcun fondamento concreto. Se la legge empirica dell’epistemologia non fosse corretta, verrebbe meno il necessario sostegno emotivo senza il quale le «leggi di natura» non potrebbero essere indagate efficacemente. R.G. Sachs, con cui ho discusso la legge empirica dell’epistemologia, l’ha chiamata il dogma del fisico teorico, ed è proprio così. Tuttavia, quello che per lui è un dogma è corroborato da numerosi esempi concreti, che si aggiungono ai tre già menzionati.
Eugene Paul Wigner, L’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali, tr. it. a cura di M. Sellito, Adelphi, Milano 2017, pp. 26-32.
Per consentire una maggiore comprensione della Proposta didattica e dunque degli obiettivi che essa si prefigge, proponiamo una sinossi del film Arrival (Denis Villeneuve, 2016) che verrà preso in analisi:
“Quale sarà, Glaucone, quella disciplina che trascina l’anima dalla sfera del divenire alla sfera dell’essere?” Con queste parole Platone ci invita a pensare alla matematica in uno dei testi più influenti della storia del pensiero occidentale, la Repubblica di Platone. Fin dalle sue origini il pensiero matematico è stato caratterizzato da una doppia valenza, certamente da una dimensione concreta, efficacemente dimostrata nelle sue applicazioni pratiche, ma anche da una dimensione più “spirituale”, in continuo dialogo e tensione con quella sfera dell’esistente che trascendeva la dimensione sensibile e materiale della realtà. Sebbene oggi l’opinione diffusa tenda a vedere nel pensiero matematico un’arida disciplina calcolistica, di cui in parte un certo insegnamento positivistico e strumentale nelle scuole ne è responsabile, questa doppia valenza della matematica non è mai venuta meno, anzi è divenuta sempre più complessa, intricata e a tratti misteriosa. Questo Speciale vuole portare il lettore, attraverso le letture selezionate, ad esplorare meglio tale ricchezza del sapere matematico. Un sapere che rimane fondamentale per il progresso della scienza e per lo sviluppo delle sue applicazioni tecnologiche, ma che si mostra fin dalle sue origini caratterizzato da una profonda e connaturata tensione con la trascendenza e con la dimensione spirituale che abita l’uomo.
Il brano tratto dal libro VII della Repubblica di Platone è il primo testo che vi proponiamo in continuità con l’incipit di questa introduzione. In questo celebre dialogo tra Platone e suo fratello Glaucone emerge fin da subito come l’aritmetica e la geometria, che racchiudeva l’intera conoscenza matematica del tempo, fosse inscindibile da una contemplazione del Bene, via regia per l’anima in conversione dalla sfera del divenire a quella dell’essere.
L’aritmetica non doveva essere coltivata “per vili interessi” finalizzati a tenere la contabilità delle vendite e degli acquisti, ma doveva rivolgersi ad una “radicale conversione dell’anima”. Così anche la geometria: essa viene presentata come la scienza di “ciò che sempre è” e proprio in virtù di questa sua tensione verso l’essere è “forza trainante verso la verità”. Questa dimensione della matematica non viene però a negare la sua dimensione pratica, calata nella concretezza delle sue applicazioni. Il sapiente Platone ci ricorda come nell’arte militare sia di vitale importanza il saper contare e il sapere far uso sapiente delle conoscenze spaziali e geometriche, almeno per ogni uomo di guerra che meriti questo appellativo.
Gli sforzi del pensiero greco di esplorare attraverso il pensiero matematico la sfera dell’essere trovano un primo grande compimento in una delle più grandi opere dell’umanità, gli Elementi di Euclide. Viene qui proposto uno studio critico, firmato dallo scrivente, che presenta in modo sintetico questa colossale opera. Lo studio critico presenta gli aspetti generali dell’opera, dalla sua struttura formale alle sue intenzioni e finalità principali, didattiche e metodologiche. Vengono così esposti e discussi i principali punti di novità e di discontinuità con il passato, evidenziando come uno dei principali meriti sia stato quello di aver portato a compimento l’idea di metodo dimostrativo, fondato in ultima istanza su definizioni e postulati. Segue un’esposizione sintetica dei tredici libri, letti con uno sguardo critico e attento agli sviluppi successivi del pensiero matematico e geometrico, concludendosi con alcune riflessioni sul possibile ruolo che questo testo può ancora giocare ai tempi nostri, soprattutto a livello didattico. Lo studio critico ci presenta quindi una delle più grandi sistematizzazioni del pensiero matematico di tutti i tempi, i cui sforzi furono certamente dettati da motivi anche pratici, e soprattutto didattici, ma che testimoniano sopra ogni cosa il primo grande sforzo dell’umanità di esplorare attraverso il pensiero logico-matematico la sfera della trascendenza e delle verità eterne.
I successivi tre brani che questo Speciale propone conducono il lettore nel panorama contemporaneo nel pensiero matematico. Il primo testo ci offre uno squarcio sul pensiero di uno dei più importanti fisici del ‘900, Paul Dirac, premio Nobel per la fisica nel 1933 e autorevole protagonista dello sviluppo della meccanica quantistica. In questo brano si chiede e ci chiede: perché la Natura è così ben descritta da leggi matematiche? A questa domanda ci offre una risposta alquanto suggestiva: “Dio è un matematico di primo ordine” e ha progettato e costruito questo mondo usando una matematica altamente avanzata. Queste parole, certamente un po’ altisonanti, vanno però prese molto seriamente. Dirac ci sta qui illustrando come il pensiero matematico moderno sia oggi caratterizzato da un lato da un’incredibile complessità e tecnicismo e da un altro lato da un’incredibile e miracolosa capacità di sondare l’ignoto e il mistero divino di un “Dio architetto”, al punto tale che si affidi alla matematica ogni seria speranza di progredire nella conoscenza dell’universo. “Si scopriranno dapprima le equazioni”, ci suggerisce Dirac, “e poi ci vorrà qualche anno di sviluppo per trovare le idee fisiche che sono dietro ad esse”.
La voce Sul valore sapienziale della matematica, redatta da Ennio De Giorgi nel 2002 per il Dizionario Interdisciplinare di Scienza e Fede ci offre una visione complessiva dei continui intrecci tra il mondo concreto degli oggetti sensibili e il mondo ideale degli oggetti matematici. L’ordine reale delle cose nel mondo può essere compreso “solo come un intreccio di relazioni tra enti materiali e ideali”. Con queste parole Ennio De Giorgi ci invita a riflettere su questa dimensione, a tratti misteriosa, del sapere matematico. Il metodo assiomatico della matematica moderna, in particolare, ha permesso alla nostra limitata intelligenza umana di avventurarsi nel “mondo dell’infinito” senza smarrirsi, superando difficoltà e paradossi, come una “specie di bussola” che ci ha consentito di esplorare territori sconosciuti alla vista sensibile. Un sapere matematico, ci invita a pensare l’autore, che sembra allora essere in grado di contribuire in modo significativo alla più larga “ricerca della Sapienza”.
Il testo successivo che qui proponiamo è un estratto di L'irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali, un breve saggio pubblicato per la prima volta nel 1960 ad opera del premio Nobel per la fisica Eugene Paul Wigner [1]. Un’opera che ha conosciuto un’ampia fortuna per la sua capacità di esplorare tematiche così complesse in poche pagine, senza però rinunciare ad affrontarle con la giusta serietà e profondità. In questo testo l’autore ci invita a riflettere sulle ragioni, in gran parte misteriose, dell’incredibile efficacia del pensiero matematico nel riuscire a descrivere il mondo fisico che ci circonda. Nel passo qui proposto Wigner ci propone nello specifico tre esempi presi dalla fisica classica e moderna dove si rende manifesto il “miracolo” del pensiero matematico. Risulta allora con ancor maggior evidenza l’incredibile capacità del linguaggio matematico di formulare leggi di natura “di una accuratezza quasi fantastica”, come quando il linguaggio matematico delle matrici fu applicato ad un problema fisico per il quale quelle regole di calcolo “non avevano alcun senso”, eppure mostravano un accordo con i dati sperimentali sorprendente, un’accuratezza “di una parte su dieci milioni”.
Infine vi proponiamo il contributo di Luca Granieri, pubblicato sul portale DISF Educational dedicato al mondo della scuola. Il prof. Granieri ci riassume i principali temi affrontati fino ad ora, dalle origini sacrali della matematica nel pensiero platonico, ai suoi successi epistemologici a partire da Galileo e a partire dalla nascita del pensiero scientifico moderno, fino ad arrivare alle sue difficoltà e ai suoi limiti costitutivi emersi con forza negli ultimi due secoli. Il merito di questo contributo, che proponiamo appositamente in conclusione, sta nel collocare questi importanti temi all’interno della più ampia prospettiva della cultura umana, che viene qui intesa come il prodotto di quella continua interrogazione sapienziale che ha caratterizzato l’essere umano fin dalle origini. La matematica, arriva a suggerirci Granieri, è “il fondamento della cultura in generale, in particolare della scienza” e per questo motivo può diventare il filo conduttore per la promozione di percorsi didattici interdisciplinari nel mondo dell’insegnamento. Proprio nel mondo della scuola, infatti, preziosissimo momento formativo per le nuove generazioni, il carattere interdisciplinare del pensiero matematico può diventare un preziosa risorsa per favorire quei legami tra pensiero scientifico, pensiero umanista e pensiero religioso, non di rado annebbiati da una concezione eccessivamente positivista della scienza. Così, conclude il professore, possiamo tornare ad apprezzare la ricchezza e la sapienza di una disciplina che, seppur sia mutata profondamente nei secoli, conserva “oggi più che mai intatto tutto il suo fascino e il suo mistero”.
[1] Sul nostro portale, nella sezione Orientamento bibliografico, è possibile trovare una recensione di questo breve saggio, firmata dallo scrivente.
Introduzione, di Flavio Baracco
Platone, Repubblica, VII 521 C - 527 D
Euclide, Elementi
Paul Dirac, The Evolution of the Physicist's Picture of Nature, 1963
Ennio De Giorgi, Sul valore sapienziale della matematica, dal Dizionario interdisciplinare di scienza e fede, 2002
Luca Granieri, Il mondo della matematica, scienza dell’infinito, da Educational
Eugene P. Wigner, L’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali, 1960
Mostra fotografica che accompagna il pubblico “dietro le quinte” del lavoro di ricerca sui beni culturali, rendendo visibili metodi, strumenti, competenze e interpretazioni che normalmente restano nascosti.
Orari: dal martedì alla domenica ore 10.00–19.00 (ultimo ingresso un’ora prima della chiusura).
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Curatela: Fabio Beltotto.
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Giornata di studi promossa da Cosmic Lab nell’ambito del Darwin Day, dedicata all’evoluzione delle menti—animali, umane e artificiali—con interventi tra filosofia, scienze cognitive ed etologia. Accesso libero fino a esaurimento posti.
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15:00 — Anna Borghi, Concetti astratti tra corpo e linguaggio
15:45 — Fabio Paglieri, Intelligenza artificiale e apprendimento umano: una prospettiva evolutiva su rischi, opportunità e buone pratiche
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Data: 11 febbraio 2026 (inizio ore 10:30)
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